10 Exercices corrigés de microéconomie S1 : La théorie de l'utilité

La théorie de l'utilité constitue un pilier fondamental de la microéconomie, offrant un cadre conceptuel pour comprendre les choix de consommation des individus et leur comportement face aux contraintes budgétaires.

Dans cet article, nous explorerons divers exercices illustrant la maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire, une problématique centrale dans l'analyse microéconomique. À travers ces exercices, nous examinerons différentes fonctions d'utilité ainsi que les diverses implications des prix des biens sur les décisions de consommation.

Ces exercices permettront aux étudiants en microéconomie de consolider leur compréhension de la théorie de l'utilité et de développer leurs compétences en résolution de problèmes dans ce domaine essentiel de l'économie.

Exercice 1:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = x^0.5 * y^0.5. Si le prix du bien x est de 4 MAD et celui du bien y est de 9 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 36 MAD.

Corrigé 1

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = x^0.5 * y^0.5 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 4, py = 9 et I = 36.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = x^0.5 * y^0.5 + λ(36 - 4x - 9y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 0.5 * x^(-0.5) * y^0.5 - 4λ = 0

∂L/∂y = 0 : 0.5 * x^0.5 * y^(-0.5) - 9λ = 0

px * x + py * y = I : 4x + 9y = 36

En résolvant ces équations, nous trouvons x = 9 et y = 4.

Donc, le consommateur devrait acheter 9 unités du bien x et 4 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 2:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 3x + 5y. Si le prix du bien x est de 8 MAD et celui du bien y est de 6 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 60 MAD.

Corrigé 2

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 3x + 5y sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 8, py = 6 et I = 60.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 3x + 5y + λ(60 - 8x - 6y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 3 - 8λ = 0

∂L/∂y = 0 : 5 - 6λ = 0

px * x + py * y = I : 8x + 6y = 60

En résolvant ces équations, nous trouvons x = 15 et y = 5.

Donc, le consommateur devrait acheter 15 unités du bien x et 5 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 3:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = x^0.7 * y^0.3. Si le prix du bien x est de 5 MAD et celui du bien y est de 10 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 100 MAD.

Corrigé 3

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = x^0.7 * y^0.3 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 5, py = 10 et I = 100.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = x^0.7 * y^0.3 + λ(100 - 5x - 10y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 0.7 * x^(-0.3) * y^0.3 - 5λ = 0

∂L/∂y = 0 : 0.3 * x^0.7 * y^(-0.7) - 10λ = 0

px * x + py * y = I : 5x + 10y = 100

En résolvant ces équations, nous trouvons x ≈ 4.36 et y ≈ 7.27.

Donc, le consommateur devrait acheter environ 4.36 unités du bien x et 7.27 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 4:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 2x^0.5 * y^0.5. Si le prix du bien x est de 6 MAD et celui du bien y est de 3 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 36 MAD.

Corrigé 4

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 2x^0.5 * y^0.5 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 6, py = 3 et I = 36.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 2x^0.5 * y^0.5 + λ(36 - 6x - 3y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : x^(-0.5) * y^0.5 - 3λ = 0

∂L/∂y = 0 : x^0.5 * y^(-0.5) - 2λ = 0

px * x + py * y = I : 6x + 3y = 36

En résolvant ces équations, nous trouvons x = 4 et y = 8.

Donc, le consommateur devrait acheter 4 unités du bien x et 8 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 5:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 4x + 3y. Si le prix du bien x est de 10 MAD et celui du bien y est de 5 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 100 MAD.

Corrigé 5

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 4x + 3y sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 10, py = 5 et I = 100.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 4x + 3y + λ(100 - 10x - 5y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 4 - 10λ = 0

∂L/∂y = 0 : 3 - 5λ = 0

px * x + py * y = I : 10x + 5y = 100

En résolvant ces équations, nous trouvons x = 8 et y = 12.

Donc, le consommateur devrait acheter 8 unités du bien x et 12 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 6:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = x^0.3 * y^0.7. Si le prix du bien x est de 3 MAD et celui du bien y est de 6 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 54 MAD.

Corrigé 6

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = x^0.3 * y^0.7 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 3, py = 6 et I = 54.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = x^0.3 * y^0.7 + λ(54 - 3x - 6y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 0.3 * x^(-0.7) * y^0.7 - 3λ = 0

∂L/∂y = 0 : 0.7 * x^0.3 * y^(-0.3) - 6λ = 0

px * x + py * y = I : 3x + 6y = 54

En résolvant ces équations, nous trouvons x ≈ 6.77 et y ≈ 7.55.

Donc, le consommateur devrait acheter environ 6.77 unités du bien x et 7.55 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 7:

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 2x + 4y. Si le prix du bien x est de 7 MAD et celui du bien y est de 3 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 70 MAD.

Corrigé 7

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 2x + 4y sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 7, py = 3 et I = 70.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 2x + 4y + λ(70 - 7x - 3y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 2 - 7λ = 0

∂L/∂y = 0 : 4 - 3λ = 0

px * x + py * y = I : 7x + 3y = 70

En résolvant ces équations, nous trouvons x = 10 et y = 10.

Donc, le consommateur devrait acheter 10 unités du bien x et 10 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 8

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 5x^0.4 * y^0.6. Si le prix du bien x est de 4 MAD et celui du bien y est de 6 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 60 MAD.

Corrigé 8

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 5x^0.4 * y^0.6 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 4, py = 6 et I = 60.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 5x^0.4 * y^0.6 + λ(60 - 4x - 6y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 2x^(-0.6) * y^0.6 - 10λ = 0

∂L/∂y = 0 : 3x^0.4 * y^(-0.4) - 10λ = 0

px * x + py * y = I : 4x + 6y = 60

En résolvant ces équations, nous trouvons x ≈ 6.47 et y ≈ 6.09.

Donc, le consommateur devrait acheter environ 6.47 unités du bien x et 6.09 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 9

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = 2x^0.6 * y^0.4. Si le prix du bien x est de 5 MAD et celui du bien y est de 10 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 100 MAD.

Corrigé 9

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = 2x^0.6 * y^0.4 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 5, py = 10 et I = 100.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = 2x^0.6 * y^0.4 + λ(100 - 5x - 10y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 1.2 * x^(-0.4) * y^0.4 - 5λ = 0

∂L/∂y = 0 : 0.8 * x^0.6 * y^(-0.6) - 10λ = 0

px * x + py * y = I : 5x + 10y = 100

En résolvant ces équations, nous trouvons x ≈ 6.84 et y ≈ 3.42.

Donc, le consommateur devrait acheter environ 6.84 unités du bien x et 3.42 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Exercice 10

Un consommateur a une fonction d'utilité représentée par U(x, y) = x^0.8 * y^0.2. Si le prix du bien x est de 8 MAD et celui du bien y est de 4 MAD, calculez la quantité de chaque bien que le consommateur doit acheter pour maximiser son utilité sous un budget de 64 MAD.

Corrigé 10

La condition de maximisation de l'utilité sous contrainte budgétaire s'exprime comme suit :

Maximiser U(x, y) = x^0.8 * y^0.2 sous la contrainte px * x + py * y = I,

où px et py sont les prix des biens x et y respectivement, et I est le revenu du consommateur.

Dans notre cas, px = 8, py = 4 et I = 64.

La fonction de Lagrange est donc :

L(x, y, λ) = x^0.8 * y^0.2 + λ(64 - 8x - 4y)

Les conditions de premier ordre sont :

∂L/∂x = 0 : 0.8 * x^(-0.2) * y^0.2 - 8λ = 0

∂L/∂y = 0 : 0.2 * x^0.8 * y^(-0.8) - 4λ = 0

px * x + py * y = I : 8x + 4y = 64

En résolvant ces équations, nous trouvons x ≈ 5.66 et y ≈ 8.48.

Donc, le consommateur devrait acheter environ 5.66 unités du bien x et 8.48 unités du bien y pour maximiser son utilité sous contrainte budgétaire.

Voir aussi :

50 Questions Réponses sur la Loi de l'Offre et de la Demande

10 Exercices corrigés de microéconomie S1 : Analyse de l'offre et de la demande

50 Questions Réponses sur la théorie de l'utilité